Διάβασα καὶ ἐγώ, καθυστερημένα, τὸ ἐπαξίως διάσημον διεθνῶς «Logicomix» τοῦ Ἀποστόλου Δοξιάδη (συγγραφέως καὶ τοῦ ἐξαιρετικοῦ «Ὁ θεῖος Πέτρος καὶ ἡ εἰκασία τοῦ Γκόλντμπαχ») καὶ τοῦ καθηγητοῦ τοῦ πανεπιστημίου τοῦ Berkeley Χρίστου Παπαδημητρίου. (Ἔχουν γραφεῖ πολλὰ καὶ δὲν χρειάζεται νὰ προσθέσουμε λεπτομέρειες. Ἐν ὁλίγοις, στὸ καλοσχεδιασμένο αὐτὸ κόμικ, μὲ πρωταγωνιστὴ τὸν Μπέρτραντ Ράσσελ, ἀλλὰ καὶ τοὺς ἴδιους τοὺς συγγραφεῖς, παρελαύνουν σὲ μιὰ συναρπαστικὴ ἱστορία οἱ θεμελιωτὲς τῆς μαθηματικῆς λογικῆς (Ἀριστοτέλης, Εὐκλείδης, Μπούλ, Κάντορ, Φρέγκε, Χίλμπερτ, Πουανκαρέ, Ράσσελ, Γκέντελ, Βιτγκενστάιν, Τούρινγκ, Φὸν Νόιμαν.) Ἀλλὰ καὶ ἡ σύγχρονη Ἀθήνα· ὁ δὲ ἐπίλογος τοῦ βιβλίου εἶναι ἡ ἀρχὴ ὅλων: Οἱ Εὐμενίδες καὶ ἡ δίκη τοῦ Ὀρέστου στὸν Ἄρειο Πάγο (ἡ φωτεινή, σοφή, λογικὴ Ἀθηνὰ κάνει τὶς σκοτεινὲς Ἐρινύες, Εὐμενίδες). (Βλ. καί: [blog.ehealthgr]· βίντεο -μὲ ἑλληνικοὺς ὑποτίτλους: [1] [2] [3] -ἀγγλικό.)) Δὲν χρειάζονται ἰδιαίτερες μαθηματικὲς γνώσεις γιὰ νὰ εὐχαριστηθεῖτε τὸ βιβλίο αὐτό.Ἂς παίξουμε λίγο, ὅμως.
Ὁ ἀξύριστος κουρέας
Στὴν σελίδα 164 ἐμφανίζεται τὸ παράδοξον τοῦ Ράσσελ, μὲ τὴν μορφὴν τοῦ παραδόξου τοῦ κουρέως. (Παράδοξον τῆς αὐτοαναφορᾶς, γνωστὸν ἤδη ἀπὸ τὴν ἀρχαιότητα μὲ τὴν μορφὴν τοῦ παραδόξου τοῦ Κρητὸς ψεύτου κ.ἄ.)
«Ὅποιος δὲν ξυρίζεται μόνος του, τὸν ξυρίζει ὁ κουρέας.»
Ἐδῶ βεβαίως ἡ διατύπωσις δὲν εἶναι ἐντελῶς σωστή· θὰ ἔπρεπε νὰ γράψῃ: «Ὁ κουρέας ξυρίζει ὅλους ὅσοι δὲν ξυρίζονται μόνοι τους, καὶ μόνον αὐτούς.» Βεβαίως γίνεται κατανοητόν. Ἀλλὰ θυμήθηκα τὸ παράδοξον αὐτό, ὅπως τὸ εἶχα δεῖ πρὸ δεκαετίας στὸ καταπληκτικὸν βιβλίον τοῦ Μάρτιν Γκάρντνερ, «Ἡ μαγεία τῶν παραδόξων» (ἐκδ. Τροχαλία, 1989, ISBN 960-7022-02-05).
Ἔψαξα, λοιπόν, νὰ τὸ βρῶ. Τὸ βιβλίον αὐτό, ἀντίθετα ἀπὸ τὸ «Logicomix» (μὴν τὰ συγκρίνετε, εἶναι διαφορετικά), ἀπαιτεῖ μαθηματικὲς γνώσεις (σὲ ὁρισμένα σημεῖα πανεπιστημιακοῦ ἐπιπέδου, ἐὰν θέλουμε νὰ ἐμβαθύνουμε, ἀλλὰ θὰ τὸ βρῇ ἐξαιρετικὰ ἐνδιαφέρον κάθε γυμνασιόπαις μέ ἔφεσι στὰ μαθηματικά.) (Ὁ Martin Gardner (1914-2010) ἀπεβίωσε ἐφέτος: «Έφυγε για πάντα ο μάγος των μαθηματικών παραδόξων» («Ἐλευθεροτυπία», 29-5-2010)· «Martin Gardner, puzzler and polymath, dies at 95» (NY Times, 23-5-2010)) Ἰδοὺ τὸ παράδοξον τοῦ κουρέως:
Ἔψαξα, λοιπόν, νὰ τὸ βρῶ. Τὸ βιβλίον αὐτό, ἀντίθετα ἀπὸ τὸ «Logicomix» (μὴν τὰ συγκρίνετε, εἶναι διαφορετικά), ἀπαιτεῖ μαθηματικὲς γνώσεις (σὲ ὁρισμένα σημεῖα πανεπιστημιακοῦ ἐπιπέδου, ἐὰν θέλουμε νὰ ἐμβαθύνουμε, ἀλλὰ θὰ τὸ βρῇ ἐξαιρετικὰ ἐνδιαφέρον κάθε γυμνασιόπαις μέ ἔφεσι στὰ μαθηματικά.) (Ὁ Martin Gardner (1914-2010) ἀπεβίωσε ἐφέτος: «Έφυγε για πάντα ο μάγος των μαθηματικών παραδόξων» («Ἐλευθεροτυπία», 29-5-2010)· «Martin Gardner, puzzler and polymath, dies at 95» (NY Times, 23-5-2010)) Ἰδοὺ τὸ παράδοξον τοῦ κουρέως:
«Ξυρίζω αὐτοὺς καὶ μόνον αὐτοὺς ποὺ δὲν ξυρίζονται μόνοι τους.»
Λοιπόν, ξεφυλλίζοντας τὸ βιβλίο αὐτὸ μετὰ ἀπὸ δέκα χρόνια, ἐθαύμασα τήν... ἱκανότητά μου νὰ γράφω στὸ περιθώριο τῶν βιβλίων, μὲ μικροσκοπικὰ γραμματάκια (μόνο ποὺ δὲν εἶχα ἐπανανακαλύψει ἀκόμη τὸ πολυτονικόν)! Εἰλικρινῶς, νομίζω ὅτι ἕνα ὑλικὸ βιβλίο μὲ σημειώσεις στὸ περιθώριο, ἀλλὰ καὶ ὑπογραφές, ἀφιερώσεις κ.ἄ., εἶναι ἕνα κειμήλιο, κάτι πολὺ περισσότερο ἀπὸ τὸ ἀρχικὸ ἠλεκτρονικὸ ἀρχεῖο. Ἂς συνεχίσουμε, ὅμως, τὸ ξεφύλλισμα.
Οἱ ἐκλογές, ἡ δημοκρατία καὶ ἡ βάρκα τοῦ Σωκράτους
Τὸ παράδοξον τοῦ Condorcet γιὰ τὴν ἰδανικὴ ψηφοφορία.
Τὸ παράδοξον τοῦ Condorcet γιὰ τὴν ἰδανικὴ δημοκρατικὴ ἐκλογή, θέτει καὶ ἕνα ἀναπάντητο φιλοσοφικὸ ἐρώτημα. Ποιός εἶναι ὁ ἰδανικότερος (καὶ δημοκρατικότερος, ἂν θέλετε) τρόπος ἐκλογῆς; Προτείνει νὰ μετρᾶται ὄχι μόνον πόσοι θέλουν τὸν ὑποψήφιο, ἀλλὰ καὶ πόσο πολὺ τὸν θέλουν. Νὰ μὴν ψηφίζουμε μόνον τὴν πρώτη προτίμησί μας, ἀλλὰ νὰ κατατάσσουμε ὅλους τοὺς ὑποψηφίους σὲ σειρὰ προτιμήσεως. Φυσικά, καὶ αὐτὸς ὁ ἀλγόριθμος ἔχει τρωτὰ σημεῖα. Π.χ. διαστροφὴ τῆς λογικῆς του: Θέτουμε τὴν πρώτη μας προτίμησι πρώτη καὶ τὸν πιὸ ἐπικίνδυνο ἀντίπαλο τὸν θέτουμε τελευταῖον, κι ἂς μὴν τὸν θεωροῦμε χειρότερον, γιὰ νὰ τὸν κάψουμε. (Ὅπως στὸ IMDb πολλοὶ βαθμολογοῦν ἢ μὲ 10 ἢ μὲ 1.) Ἀλλά, βεβαίως, τὸ ἐρώτημα τῆς ἰδανικῆς μεθόδου ἀναδείξεως τῶν ἀρχόντων (καὶ τοῦ ἰδανικοῦ πολιτεύματος) εἶναι πολὺ βαθύτερον.
α) Νοησιαρχία ἢ βουλησιαρχία; Ἄρχων πρέπει νὰ ἀναδεικνύεται ὁ ἀντικειμενικῶς καταλληλότερος (μὲ ἐξετάσεις, μὲ ἀπόφασιν ἐπιτροπῆς-γερουσίας, ἐκ κληρονομικοῦ ἢ ἄλλου προνομίου) ἢ ὁ πιὸ ἐπιθυμητός; Πρέπει νὰ γίνεται τὸ σωστότερο (μὲ ποιά κριτήρια; ) ἢ αὐτὸ ποὺ ἐπιθυμοῦν οἱ πολλοί; Τὴν βάρκα, ρωτᾷ ὁ Σωκράτης πρέπει νὰ τὴν ὁδηγῇ ὁ βαρκάρης ἢ οἱ πολλοί;
β) Βουλησιαρχία, μὲ τὴν ἔννοια ὅτι, ναὶ μὲν ὁ βαρκάρης ὁδηγεῖ τὴν βάρκα, καὶ τοῦ δίδεται ἡ ἐξουσία νὰ τὴν ὁδηγῇ ὅπως γνωρίζει, ἀλλὰ οἱ ἐπιβάτες ἀποφασίζουν τὸν προορισμό. Τώρα -σκεφθεῖτε καὶ τὸν ἀλγόριθμο τοῦ Condorcet- ἰδανικῶς δὲν θὰ ἔπρεπε νὰ μετροῦμε ψήφους, ἀλλὰ νὰ μετρᾶται, νὰ ἐκδηλώνεται κάπως ἡ συνολικὴ βούλησις τοῦ ἔθνους, ἡ συνισταμένη τῆς βουλήσεως τῶν πολιτῶν. (Σκεφθεῖτε: Ἐὰν εἴμαστε παρέα καὶ ἐὰν ἐγὼ θὰ πήγαινα νὰ δῶ τὴν Α ταινία, ἀλλὰ κι ἡ Β μὲ ἐνδιαφέρει, ὅμως ἐσὺ θέλεις πραγματικὰ πολὺ νὰ δῇς τὴν Β, τὸ καλύτερο γιὰ ὅλους μας εἶναι νὰ πᾶμε νὰ δοῦμε τὴν Β.) Ἀλλὰ πῶς μπορεῖ νὰ μετρηθῇ ἡ βούλησις τοῦ ἔθνους;
γ) Προσοχὴ φίλοι μου -ἐδῶ μπαίνουμε σὲ βαθιὰ νερά: Ἡ βούλησις αὐτὴ ἐπηρεάζει τὴν κληρονομιὰ ποὺ παραλάβαμε ἀπὸ τοὺς προγόνους καὶ τὴν κληρονομιὰ ποὺ θὰ παραδώσουμε στοὺς ἀπογόνους μας. Ποιός σᾶς εἶπε ὅτι δικαιούμαστε νὰ ἀποφασίσουμε γιὰ τὴν κληρονομιά τους χωρὶς νὰ τοὺς ρωτήσουμε; Ἡ βούλησις τοῦ Κολοκοτρώνη, τοῦ Παλαιολόγου καὶ τοῦ Λεωνίδου, φίλτατε, εἶναι ἑκατομμύρια φορὲς βαρύτερη ἀπὸ τὴν δική σου. Στὴν ἰδανικὴ ψηφοφορία πρέπει νὰ ψηφίσουν καὶ ὅλοι οἱ νεκροὶ καὶ οἱ ἀγέννητοι τῶν Ἑλλήνων, ἀφοῦ ἡ ἀπόφασις ποὺ θὰ ληφθῆ τοὺς ἐπηρεάζει εὐθέως ὅλους. Ἀκόμη περισσότερο· πρέπει νὰ συνυπολογισθῆ ἡ βούλησις ὅλων τῶν γενεῶν, καὶ αὐτῶν ἡ βούλησις ἀπὸ ὁλόκληρον τὸν βίον τους, ὄχι ἡ εὐκαιριακή τους γνώμη.
(Ὅποιος διαβάσει τὴν ἱστορία τοῦ Θουκυδίδου ἀντιλαμβάνεται ἀμέσως πῶς ἡ Ἀθήνα ἡττήθηκε, ἐπειδὴ περιστασιακὲς καὶ εὐκαιριακὲς ἀποφάσεις τοῦ δήμου ἀνέτρεπαν ἀπὸ τὴν μιὰ στιγμὴ στὴν ἄλλη μακροπρόθεσμες στρατηγικές. Ἡ ἐσωτερικὴ ἀντίφασις εἶναι ὅτι ὁ δῆμος, εὐκαιριακῶς, μία μόνον δεδομένη στιγμή, ἔχει τὴν δεδομένη γνώμη, ἀλλὰ ἡ ἀπόφασις αὐτῆς τῆς στιγμῆς ἐπηρεάζει τὸν ἴδιον σὲ χρόνια ἑπόμενα ὅπου δὲν ἔχει τὴν ἴδια γνώμη, ἀλλὰ καὶ τοὺς προγόνους καὶ τοὺς ἀπογόνους ποὺ δὲν ἐρωτήθησαν. Πῶς μπορεῖ στὴν τυχαία στιγμὴ νὰ δίδεται ἐξουσία ἐπάνω σὲ ὅλο τὸ παρελθὸν καὶ ὅλο τὸ μέλλον; )
α) Νοησιαρχία ἢ βουλησιαρχία; Ἄρχων πρέπει νὰ ἀναδεικνύεται ὁ ἀντικειμενικῶς καταλληλότερος (μὲ ἐξετάσεις, μὲ ἀπόφασιν ἐπιτροπῆς-γερουσίας, ἐκ κληρονομικοῦ ἢ ἄλλου προνομίου) ἢ ὁ πιὸ ἐπιθυμητός; Πρέπει νὰ γίνεται τὸ σωστότερο (μὲ ποιά κριτήρια; ) ἢ αὐτὸ ποὺ ἐπιθυμοῦν οἱ πολλοί; Τὴν βάρκα, ρωτᾷ ὁ Σωκράτης πρέπει νὰ τὴν ὁδηγῇ ὁ βαρκάρης ἢ οἱ πολλοί;
β) Βουλησιαρχία, μὲ τὴν ἔννοια ὅτι, ναὶ μὲν ὁ βαρκάρης ὁδηγεῖ τὴν βάρκα, καὶ τοῦ δίδεται ἡ ἐξουσία νὰ τὴν ὁδηγῇ ὅπως γνωρίζει, ἀλλὰ οἱ ἐπιβάτες ἀποφασίζουν τὸν προορισμό. Τώρα -σκεφθεῖτε καὶ τὸν ἀλγόριθμο τοῦ Condorcet- ἰδανικῶς δὲν θὰ ἔπρεπε νὰ μετροῦμε ψήφους, ἀλλὰ νὰ μετρᾶται, νὰ ἐκδηλώνεται κάπως ἡ συνολικὴ βούλησις τοῦ ἔθνους, ἡ συνισταμένη τῆς βουλήσεως τῶν πολιτῶν. (Σκεφθεῖτε: Ἐὰν εἴμαστε παρέα καὶ ἐὰν ἐγὼ θὰ πήγαινα νὰ δῶ τὴν Α ταινία, ἀλλὰ κι ἡ Β μὲ ἐνδιαφέρει, ὅμως ἐσὺ θέλεις πραγματικὰ πολὺ νὰ δῇς τὴν Β, τὸ καλύτερο γιὰ ὅλους μας εἶναι νὰ πᾶμε νὰ δοῦμε τὴν Β.) Ἀλλὰ πῶς μπορεῖ νὰ μετρηθῇ ἡ βούλησις τοῦ ἔθνους;
γ) Προσοχὴ φίλοι μου -ἐδῶ μπαίνουμε σὲ βαθιὰ νερά: Ἡ βούλησις αὐτὴ ἐπηρεάζει τὴν κληρονομιὰ ποὺ παραλάβαμε ἀπὸ τοὺς προγόνους καὶ τὴν κληρονομιὰ ποὺ θὰ παραδώσουμε στοὺς ἀπογόνους μας. Ποιός σᾶς εἶπε ὅτι δικαιούμαστε νὰ ἀποφασίσουμε γιὰ τὴν κληρονομιά τους χωρὶς νὰ τοὺς ρωτήσουμε; Ἡ βούλησις τοῦ Κολοκοτρώνη, τοῦ Παλαιολόγου καὶ τοῦ Λεωνίδου, φίλτατε, εἶναι ἑκατομμύρια φορὲς βαρύτερη ἀπὸ τὴν δική σου. Στὴν ἰδανικὴ ψηφοφορία πρέπει νὰ ψηφίσουν καὶ ὅλοι οἱ νεκροὶ καὶ οἱ ἀγέννητοι τῶν Ἑλλήνων, ἀφοῦ ἡ ἀπόφασις ποὺ θὰ ληφθῆ τοὺς ἐπηρεάζει εὐθέως ὅλους. Ἀκόμη περισσότερο· πρέπει νὰ συνυπολογισθῆ ἡ βούλησις ὅλων τῶν γενεῶν, καὶ αὐτῶν ἡ βούλησις ἀπὸ ὁλόκληρον τὸν βίον τους, ὄχι ἡ εὐκαιριακή τους γνώμη.
(Ὅποιος διαβάσει τὴν ἱστορία τοῦ Θουκυδίδου ἀντιλαμβάνεται ἀμέσως πῶς ἡ Ἀθήνα ἡττήθηκε, ἐπειδὴ περιστασιακὲς καὶ εὐκαιριακὲς ἀποφάσεις τοῦ δήμου ἀνέτρεπαν ἀπὸ τὴν μιὰ στιγμὴ στὴν ἄλλη μακροπρόθεσμες στρατηγικές. Ἡ ἐσωτερικὴ ἀντίφασις εἶναι ὅτι ὁ δῆμος, εὐκαιριακῶς, μία μόνον δεδομένη στιγμή, ἔχει τὴν δεδομένη γνώμη, ἀλλὰ ἡ ἀπόφασις αὐτῆς τῆς στιγμῆς ἐπηρεάζει τὸν ἴδιον σὲ χρόνια ἑπόμενα ὅπου δὲν ἔχει τὴν ἴδια γνώμη, ἀλλὰ καὶ τοὺς προγόνους καὶ τοὺς ἀπογόνους ποὺ δὲν ἐρωτήθησαν. Πῶς μπορεῖ στὴν τυχαία στιγμὴ νὰ δίδεται ἐξουσία ἐπάνω σὲ ὅλο τὸ παρελθὸν καὶ ὅλο τὸ μέλλον; )
Περιθώρια καὶ χαρτάκια
Ἀλλὰ ἀφήνω τὴν φιλοσοφία· τὸ κύριο θέμα μου εἶναι ἡ καλλιγραφία στὸ περιθώριο τῶν βιβλίων.
Ὅταν τὸ περιθώριο δὲν χωρᾷ ὁλόκληρη τὴν σοφία μου, φυτεύω χαρτάκια:
Ὅταν τὸ περιθώριο δὲν χωρᾷ ὁλόκληρη τὴν σοφία μου, φυτεύω χαρτάκια:
«Βλ. ἁπλούστερο τύπο στὸ ἄλλο χαρτάκι.»
Εὐτυχῶς τὸ ἄλλο χαρτάκι βρέθηκε, διότι, ἐὰν ὑποθέσουμε ὅτι εἶχα ἀνακαλύψει κάτι σπουδαῖο -λέμε τώρα!-, θὰ γινόμουν ὁ νέος Fermat.
Τὸ ἄλλο χαρτάκι.
Ἂς δοῦμε τὶ σοφίες γράφω παρακάτω.
/* You are not expected to understand this. */
Τὸ παράδοξον τῆς γραβάτας, τοῦ Maurice Kraitchic.
Τὸ παράδοξον τῆς γραβάτας εἶναι ἐνδιαφέρον: Δυὸ φίλοι συγκρίνουν τὶς γραβάτες τους. Ὅποιος ἔχει τὴν καλύτερη, χάριν μεγαλοθυμίας, θὰ τὴν χαρίσῃ στὸν ἄλλον. Ὁ καθένας σκέπτεται: Ἂν χάσω, θὰ χάσω τὴν γραβάτα μου, αξίας α· ἂν ὅμως κερδίσω, θὰ κερδίσω καλύτερη γραβάτα, ἀξίας α+κ. Ἄρα τὸ παιχνίδι μὲ συμφέρει. Μὰ δὲν γίνεται νὰ συμφέρῃ καὶ τοὺς δύο!
Ὁ Γκάρντνερ γράφει ὅτι δὲν μπόρεσε νὰ δώσῃ μιὰ εὔκολα κατανοητὴ ἐξήγησι, καὶ ἂν κάποιος ἀναγνώστης ἔχει τέτοια, παρακαλεῖται νὰ τὴν στείλῃ γιὰ νὰ δημοσιευθῇ στὴν ἑπόμενη ἔκδοσι τοῦ βιβλίου. Ἐγὼ ἐξήγησι ἔχω, στὸ περιθώριο τοῦ βιβλίου, ἀλλὰ ὁπωσδήποτε ὄχι καὶ τόσο κατανοητή, ἀφοῦ εἶδα κι ἔπαθα τώρα νὰ καταλάβω τὶ στὸ καλὸ εἶχα γράψει!
Ἀλλὰ ἂς προσπαθήσω νὰ τὸ ἐξηγήσω τώρα. Γράφει ὁ Γκάρντνερ στὴν λεζάντα: «Μήπως τὸ παράδοξο δημιουργεῖται ἐπειδὴ κάθε παίκτης δέχεται λανθασμένα ὅτι οἱ πιθανότητες νὰ χάσει ἢ νὰ κερδίσει εἶναι ἴσες;» Ὄχι. Γενικῶς, προφανῶς εἶναι ἴσες καὶ προφανῶς, λόγῳ συμμετρίας, τὸ μέσο κέρδος εἶναι μηδέν. Στὸν μαθηματικὸ ὑπολογισμό μου στὸ περιθώριο: «Μέσο κέρδος ... =0». Ἀλλά -προσοχή- «ἐνδιαφέρον ὅτι γιὰ τ=α/2 τὸ μέσο κέρδος εἶναι θετικό, α/8». Προσοχή! Ἐὰν οἱ δύο φίλοι φοροῦν ἰσοπίθανα γραβάτα ἀξίας ἀπὸ 0 ἔως α, προφανῶς, λόγῳ συμμετρίας, τὸ μέσο κέρδος τους εἶναι μηδέν. Ἐὰν τώρα ὁ πρῶτος φορᾷ γραβάτα ἀξίας ἀκριβῶς α/2, καὶ τὸ ξέρῃ, ἐνῷ ὁ δεύτερος ἀξίας ἰσοπίθανα ἀπὸ 0 ἔως α, τότε ὁ συλλογισμὸς εἶναι σωστός· ὁ πρῶτος φίλος ἔχει πιθανότητα 1/2 νὰ κερδίσῃ, ἀλλὰ ἐὰν κερδίσῃ θὰ κερδίσῃ περισσότερα ἀπὸ ὅσα θὰ χάσῃ ἐὰν χάσῃ. Ὅμως δὲν ἔχουμε πιὰ συμμετρία. Ὁ πρῶτος φορᾷ γραβάτα ἀξίας ἀκριβῶς α/2, καὶ τὸ ξέρει, ἐνῷ ὁ δεύτερος ἀξίας ἰσοπίθανα ἀπὸ 0 ἔως α. Τὸ νὰ φορᾷ ὅμως ὁ πρῶτος γραβάτα ἀξίας ἀκριβῶς α/2 εἶναι ἁπλῶς μιὰ εἰδικὴ περίπτωσις.
Ἐάν, ὅμως, στὴν γενικὴ περίπτωσι, καὶ οἱ δύο φοροῦν γραβάτα ἀξίας ἰσοπίθανα ἀπὸ 0 ἔως α, καὶ ἐπιπλέον δὲν γνωρίζουν τὴν ἀξία οὔτε τῆς δικῆς τους γραβάτας οὔτε φυσικὰ αὐτῆς τοῦ φίλου τους, τί μποροῦν νὰ ὑποθέσουν; Λόγῳ συμμετρίας, προφανῶς ἔχουν πιθανότητα 1/2 νὰ κερδίσουν. Καὶ ἡ γραβάτα τους ἀξίζει κατὰ μέσον ὅρο α/2. Καὶ ἐὰν κερδίσουν, πράγματι, θὰ κερδίσουν περισσότερα ἀπὸ ὅσα θὰ χάσουν ἐὰν χάσουν. Ὅμως, παραδόξως, αὐτὸ δὲν σημαίνει ὅτι τὸ μέσο πιθανὸ κέρδος τους εἶναι θετικό, καὶ ὄχι μηδέν.
Δὲν ἰσχύει «ἂν χάσω, χάνω μέση γραβάτα, ἐνῷ, ἂν κερδίσω, κερδίζω ἀκριβή». Διότι, ἐὰν π.χ. κερδίσῃ ὁ πρῶτος, αὐτὸ ναὶ μὲν πιθανῶς θὰ ἔχει συμβεῖ ἐπειδὴ ὁ φίλος του ἔτυχε νὰ φορᾷ ἀκριβὴ γραβάτα (καὶ ὁ ἴδιος φθηνή, ὄχι μέση)· ἀλλά, ἐὰν χάσει, αὐτὸ πιθανῶς θὰ ἔχει συμβεῖ ἐπειδὴ ἔτυχε αὐτὸς νὰ φορᾷ ἀκριβὴ γραβάτα (ὄχι μέση) καὶ ὁ φίλος του φθηνή· ἀκριβὴ γραβάτα χάνει, συνήθως, ὅταν χάνει, ὄχι μέση. Σκέπτεται, ὅμως: «πιθανῶς ἔχω μέσης ἀξίας γραβάτα». Ναί. Πρέπει, ὅμως, νὰ σκεφθῇ ἐπιπλέον: «Ἐἀν χάσω, μᾶλλον θὰ σημαίνει ὅτι ἔτυχε σήμερα νὰ φορέσω ἀκριβή -τὴν ἀκριβὴ θὰ χάσω.»
Ἀκριβέστερα, ἡ μέση πιθανὴ τιμὴ τῆς γραβάτας καὶ τῶν δύο εἶναι, λόγῳ συμμετρίας, α/2. Ἀλλά, στὶς περιπτώσεις ὅπου ὁ πρῶτος κερδίζει (δεσμευμένη πιθανότης, μὲ δεδομένο ὅτι ὁ πρῶτος κερδίζει), ἡ μέση πιθανὴ τιμὴ τῆς γραβάτας εἶναι α/3 γιὰ τὸν πρῶτο καὶ 2α/3 γιὰ τὸν δεύτερο.
(Τουλάχιστον προσπάθησα!)
Ὁ Γκάρντνερ γράφει ὅτι δὲν μπόρεσε νὰ δώσῃ μιὰ εὔκολα κατανοητὴ ἐξήγησι, καὶ ἂν κάποιος ἀναγνώστης ἔχει τέτοια, παρακαλεῖται νὰ τὴν στείλῃ γιὰ νὰ δημοσιευθῇ στὴν ἑπόμενη ἔκδοσι τοῦ βιβλίου. Ἐγὼ ἐξήγησι ἔχω, στὸ περιθώριο τοῦ βιβλίου, ἀλλὰ ὁπωσδήποτε ὄχι καὶ τόσο κατανοητή, ἀφοῦ εἶδα κι ἔπαθα τώρα νὰ καταλάβω τὶ στὸ καλὸ εἶχα γράψει!
Ἀλλὰ ἂς προσπαθήσω νὰ τὸ ἐξηγήσω τώρα. Γράφει ὁ Γκάρντνερ στὴν λεζάντα: «Μήπως τὸ παράδοξο δημιουργεῖται ἐπειδὴ κάθε παίκτης δέχεται λανθασμένα ὅτι οἱ πιθανότητες νὰ χάσει ἢ νὰ κερδίσει εἶναι ἴσες;» Ὄχι. Γενικῶς, προφανῶς εἶναι ἴσες καὶ προφανῶς, λόγῳ συμμετρίας, τὸ μέσο κέρδος εἶναι μηδέν. Στὸν μαθηματικὸ ὑπολογισμό μου στὸ περιθώριο: «Μέσο κέρδος ... =0». Ἀλλά -προσοχή- «ἐνδιαφέρον ὅτι γιὰ τ=α/2 τὸ μέσο κέρδος εἶναι θετικό, α/8». Προσοχή! Ἐὰν οἱ δύο φίλοι φοροῦν ἰσοπίθανα γραβάτα ἀξίας ἀπὸ 0 ἔως α, προφανῶς, λόγῳ συμμετρίας, τὸ μέσο κέρδος τους εἶναι μηδέν. Ἐὰν τώρα ὁ πρῶτος φορᾷ γραβάτα ἀξίας ἀκριβῶς α/2, καὶ τὸ ξέρῃ, ἐνῷ ὁ δεύτερος ἀξίας ἰσοπίθανα ἀπὸ 0 ἔως α, τότε ὁ συλλογισμὸς εἶναι σωστός· ὁ πρῶτος φίλος ἔχει πιθανότητα 1/2 νὰ κερδίσῃ, ἀλλὰ ἐὰν κερδίσῃ θὰ κερδίσῃ περισσότερα ἀπὸ ὅσα θὰ χάσῃ ἐὰν χάσῃ. Ὅμως δὲν ἔχουμε πιὰ συμμετρία. Ὁ πρῶτος φορᾷ γραβάτα ἀξίας ἀκριβῶς α/2, καὶ τὸ ξέρει, ἐνῷ ὁ δεύτερος ἀξίας ἰσοπίθανα ἀπὸ 0 ἔως α. Τὸ νὰ φορᾷ ὅμως ὁ πρῶτος γραβάτα ἀξίας ἀκριβῶς α/2 εἶναι ἁπλῶς μιὰ εἰδικὴ περίπτωσις.
Ἐάν, ὅμως, στὴν γενικὴ περίπτωσι, καὶ οἱ δύο φοροῦν γραβάτα ἀξίας ἰσοπίθανα ἀπὸ 0 ἔως α, καὶ ἐπιπλέον δὲν γνωρίζουν τὴν ἀξία οὔτε τῆς δικῆς τους γραβάτας οὔτε φυσικὰ αὐτῆς τοῦ φίλου τους, τί μποροῦν νὰ ὑποθέσουν; Λόγῳ συμμετρίας, προφανῶς ἔχουν πιθανότητα 1/2 νὰ κερδίσουν. Καὶ ἡ γραβάτα τους ἀξίζει κατὰ μέσον ὅρο α/2. Καὶ ἐὰν κερδίσουν, πράγματι, θὰ κερδίσουν περισσότερα ἀπὸ ὅσα θὰ χάσουν ἐὰν χάσουν. Ὅμως, παραδόξως, αὐτὸ δὲν σημαίνει ὅτι τὸ μέσο πιθανὸ κέρδος τους εἶναι θετικό, καὶ ὄχι μηδέν.
Δὲν ἰσχύει «ἂν χάσω, χάνω μέση γραβάτα, ἐνῷ, ἂν κερδίσω, κερδίζω ἀκριβή». Διότι, ἐὰν π.χ. κερδίσῃ ὁ πρῶτος, αὐτὸ ναὶ μὲν πιθανῶς θὰ ἔχει συμβεῖ ἐπειδὴ ὁ φίλος του ἔτυχε νὰ φορᾷ ἀκριβὴ γραβάτα (καὶ ὁ ἴδιος φθηνή, ὄχι μέση)· ἀλλά, ἐὰν χάσει, αὐτὸ πιθανῶς θὰ ἔχει συμβεῖ ἐπειδὴ ἔτυχε αὐτὸς νὰ φορᾷ ἀκριβὴ γραβάτα (ὄχι μέση) καὶ ὁ φίλος του φθηνή· ἀκριβὴ γραβάτα χάνει, συνήθως, ὅταν χάνει, ὄχι μέση. Σκέπτεται, ὅμως: «πιθανῶς ἔχω μέσης ἀξίας γραβάτα». Ναί. Πρέπει, ὅμως, νὰ σκεφθῇ ἐπιπλέον: «Ἐἀν χάσω, μᾶλλον θὰ σημαίνει ὅτι ἔτυχε σήμερα νὰ φορέσω ἀκριβή -τὴν ἀκριβὴ θὰ χάσω.»
Ἀκριβέστερα, ἡ μέση πιθανὴ τιμὴ τῆς γραβάτας καὶ τῶν δύο εἶναι, λόγῳ συμμετρίας, α/2. Ἀλλά, στὶς περιπτώσεις ὅπου ὁ πρῶτος κερδίζει (δεσμευμένη πιθανότης, μὲ δεδομένο ὅτι ὁ πρῶτος κερδίζει), ἡ μέση πιθανὴ τιμὴ τῆς γραβάτας εἶναι α/3 γιὰ τὸν πρῶτο καὶ 2α/3 γιὰ τὸν δεύτερο.
(Τουλάχιστον προσπάθησα!)
Περὶ καλλιγραφίας ὁ λόγος
Περὶ καλλιγραφίας ὁ λόγος, καὶ δὲν μπορῶ νὰ κλείσω τὸ παρὸν σημείωμα χωρὶς νὰ ἀναφερθῶ, τιμῆς ἔνεκεν, στὸν σεβαστὸ καθηγητὴ μαθηματικῶν τοῦ Ἐ. Μ. Πολυτεχνείου, Ἰωάννη Θ. Χαΐνη. Δὲν ἐπρόλαβα τὸν ἴδιον, ἐπρόλαβα, ὅμως, τὰ χειρόγραφα βιβλία του. Ναί, σωστὰ διαβάσατε, χειρόγραφα βιβλία! Ἔργα τέχνης.
Ἔργον τέχνης: Ἰωάννης Θ. Χαΐνης, «Μαθήματα Μιγαδικῆς Ἀναλύσεως: Μιγαδικαὶ συναρτήσεις - Σύμμορφος ἀπεικόνισις - Ἐφαρμογαί», τόμος Γ', νέα ἔκδοσις βελτιωμένη-ἐπηυξημένη, Άθῆναι 1990
Ἕνας σπουδαῖος καθηγητής, τοῦ ὁποίου ἡ στέρεα μαθηματικὴ σκέψις φαίνεται καὶ σὲ κάθε ἄρθρο του. (Πρόχειρα παραδείγματα: γιὰ τὶς πανελλαδικὲς ἐξετάσεις: «Ὁ γόρδιος δεσμὸς τῶν πανελλαδικῶν ἐξετάσεων» («Τὸ Βῆμα», 13-6-2004)· γιὰ τὶς σχέσεις ἐκκλησίας καὶ κράτους: [1] [2])
Πολυ ωραιο!
ΑπάντησηΔιαγραφή(Τα εχω κι εγω τα βιβλια του Χαϊνη).
Να και ενα "παραδοξο" παρομοιο με τα παραπανω. Ειχα κανει συζητηση γι' αυτο παλιοτερα στο sci.math.
Ας φανταστουμε λευκες καρτες που εχουν γραμμενο σε καθε πλευρα εναν αριθμο, οπου ο ενας ειναι δεκα φορες ο αλλος, ως εξης:
...
1000 --- 100
100 --- 10
10 --- 1
1 --- 1/10
1/10 --- 1/100
1/100 --- 1/1000
...
δλδ η νιοστη καρτα εχει 10^Ν και 10^(Ν-1) για καθε ακεραιο Ν (θετικο, 0 η αρνητικο).
Παικτες Α και Β καθονται προσωπο με προσωπο. Παιρνουμε μια καρτα στην τυχη και την βαζουμε μεταξυ τους, ωστε ο καθενας να βλεπει μια πλευρα. Η Τραπεζα θα πληρωσει στον καθε παικτη το ποσο που γραφει η πλευρα του. Οποιος καταληξει με τα περισσοτερα λεφτα κερδιζει.
Ο καθε παικτης ομως εχει το δικαιωμα η να δεχτει την καρτα η να ζητησει να αντιστραφει.
[ Τι γινεται αν ο ενας θελει να αντιστραφει η καρτα και ο αλλος οχι; Κρατειστε την ερωτηση για παρακατω].
Ο παικτης Α βλεπει π.χ. "1". Σκεφτεται οτι η αλλη πλευρα ειναι η 1/10 η 10. Αρα ο αντιπαλος του εχει αναμενομενη τιμη 1/2 * 1/10 + 1/2 * 10, δλδ 5 + 1/20 που ειναι μεγαλυτερο του 1. Αρα τον συμφερει να ζητησει αντιστροφη.
Αλλα το παιχνιδι ειναι συμμετρικο! Με τον ιδιο συλλογισμο και ο Β καταληγει στο συμπερασμα οτι τον συμφερει αντιστροφη, αφου παντοτε 1/2 * Χ/10 + 1/2 * 10Χ > Χ. (Δεν τιθεται λοιπον θεμα διαφωνιας)
Πως ειναι δυνατον αυτο, να συμφερει και τους δυο παικτες η αντιστροφη;;
(Η απαντηση προσεχως... αν δεν την γραψει κανενας αλλος)
Για το παράδοξο του κουρέα έχω να πω ότι είναι πολύ εύκολο να το λύσει κανείς.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠολύ απλά ο κουρέας είναι γυναίκα η οποία ακόμα και αν συμμετέχει σε τσίρκο ως "η γυναίκα με τα μούσια", δεν ξυρίζεται :)
ὑπέροχο ποστάκι!
ΑπάντησηΔιαγραφή